حل كتاب الرياضيات للصف التاسع الفصل الثاني

(حل كتاب الرياضيات للصف التاسع الفصل الثاني)

مخطط تنظيمي للوحدة السادسة

المجموعات والدول

المجموعات:

• مجموعة الفرق
• المجموعة الشاملة
• المجموعة المتممة

الدوال:

• التطبيق وانواعه
• الدالة الخطية
• الدالة التربيعية

(مجموعة الفرق)

مجوعة 1-6:

سوف نتعلم: إيجاد مجموعة الفرق بين مجموعتين

• نشاط:

انتخب معلمو الصف التاسع مجموعة منهم لتمثيلهم داخل اللجنة الثقافية للمدرسة، ومجموعة لتمثيلهم داخل اللجنة الرياضية للمدرسة، وكانت نتائج المرشحين كالتالي:

1- من خلال الجدول السابق،

مثل المجموعتين باستخدام شكل فن.

2- أكتب مجموعة الأعضاء في اللجنة الثقافية وليسوا أعضاء في اللجنة الرياضية.

[خالد، فيصل، علي]

3- أكتب مجموعة الأعضاء في اللجنة الرياضية وليسوا أعضاء في اللجنة الثقافية 

[جاسم، يوسف]

من خلال النشاط السابق:

• مجموعة الاعضاء في اللجنة الثقافية وليسوا أعضاء في اللجنة الرياضية

تسمى مجموعة الفرق بين مجموعتين

وتسمى س - ص

وتظلل كما في شكل فن المقابل

س - ص = مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س ولأنتمي إلى ص

• مجموعة الاعضاء في اللجنة الرياضية وليسوا أعضاء في اللجنة الثقافية س

تسمى مجموعة الفرق بين مجموعتين

وتظلل كما في شكل فن المقابل

س - ص = مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س ولأنتمي إلى س

• تدريب (1)

من شكل فن المقابل، أوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

• مثال:

• تدريب (2)

• تدريب (3)

• تدريب (4)

أكتب ما يمثله المظلل في كل من الاشكال التالية:

• تمرن:

1- ظلل المنطقة التي تمثل كلا مما يلي في الاشكال التالية:

2- من شكل فن المقابل، أوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

3- إذا كانت س = مجموعة مضاعفات العدد  3 الأصغر من 9،

س = (6،4،3،2،1)

فأوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

4- إذا كانت ع = (أ: أ & ص ، : < 5)

حيث ص مجموعة الاعداد الصحيحة

ح = (ب: ب عامل من العوامل الاولية للعدد 30)

فأوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

(مجموعة الفرق)

مجموعة 2-6:

• نشاط:

لتكن:

س = (أ، ب، ج، )، ص = (ب، ج، د)، ع = (ج، د، هـ، ل)

1- اكتب مجموعة ي بحيث كل من س، ص، ع مجموعة جزئية منها.

2- اكتب مجموعة أخرى م بحيث كل من س، ص، ع مجموعة جزئية منها.

تسمى كل منها ي، م … مجموعة شاملة للمجموعات س، ص، ع في أمثلة مختلفة

ترمز إلى المجموعة الشاملة بالرمز ش.

لتكن ش = ((أ، ب، ج، )، ص = (ب، ج، د)، ع = (ج، د، هـ، ل، ك)

المجموعة الشاملة لكل من س، ص، ع 

وتمثل بشكل فن المقابل

• تدريب (1)

من الشكل المجاور:

أ- أكتب بذكر العناصر كلا مما يلي:

ب- أكمل:

• من تدريب (1) السابق:

مجموعة العناصر التي تنتمي إلى ش ولا تنتمي إلى س هي ش - س

وتسمى مجموعة متممة س

ويرمز لها بالرمز سَ أو س

وتظلل كما في شكل فن المقابل

أي أن  = سَ - س

• تدريب (2)

من الشكل المجاور، اكتب بذكر العناصر كلا مما يلي:

ويمكن استنتاج أن:

• تدريب (3)

من الشكل المجاور، أوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

• مثال:

من شكل فن المقابل، أوجد كلا من ش، س، صَ، س - ع، ثم ظلل المنطقة التي تمثل (ص - ع).

• تدريب (4)

إذا كانت المجموعة الشاملة ش = (5،4،3،2،1)

س = [أ: أ مجموعة الاعداد الكلية، 2 < أ< 4]

ص = [ب: ب مجموعة الاعداد الكلية، ب عامل من عوامل العدد 4]

فأجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

مثل كلا من ش، س، ص بشكل فن

• تدريب (5)

ظلل المنطقة التي تمثل كلا مما يلي في الاشكال التالية:

• تمرن:

1- ظلل المنطقة التي تمثل كلا مما يلي من الاشكال التالية:

2- من شكل الفن المقابل، أوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

3-  من شكل الفن المقابل، أوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

4- إذا كانت المجموعة الشاملة ش = (5،4،3،2،1)

ص = مجموعة الاعداد الفردية الأكبر من 1 والأصغر من 7

ك = (أ: أ عدد زوجي 1 < أ < 6 )

فأوجد بذكر العناصر كلا مما يلي:

5- من شكل فن المقابل، اكمل بذكر العناصر كلا مما يلي:

(المجموعة الشاملة)

مجموعة 6-3:

سوف نتعلم: التطبيق (الدالة) وأنواعه

درست فيما سبق أن العلاقة من مجموعة س إلى المجموعة ص هي تطبيق دالة إذا ارتبط كل عنصر من س بعنصر واحد وواحد فقط من ص وتسمى س المجال

ص المجال المقابل وتسمى مجموعة صور عناصر المجال المدى

• نشاط:

شارك مجموعة من الأصدقاء هم محمد وعيسى وعبد الله في مسابقات الموروث الشعبي الخليجي على يومين متتالين.

المخططات السهمية التالية تمثل المسابقات التي اشترك فيها الصدقاء حيص س تمثل مجموعة الاصدقاء، ص تمثل مجموعة المسابقات، كل من العلاقات التالية تمثل تطبيقاً

أكمل كلا مما يلي:

أكمل كلا مما يلي:

التطبيق الذي يساوي فيه المدى والمجال المقابل يسمى تطبيق شامل

مما سبق نستنتج أن:

• تدريب (1)

أي التطبيقات التالية شامل وأيها ليس شاملاً؟ أذكر السبب

             السبب: لان المدى يساوي المجال المقابل    السبب: لان المدى يساوي المجال المقابل

من تدريب (1): أكمل

                       هل صور عناصر المجال مختلفة؟    هل صور عناصر المجال مختلفة؟

                      نعم صور المجال مختلفة               نعم صور المجال مختلفة

التطبيق الذي لا يرتبط فيه عنصران أو أكثر من المجال بالعنصر نفسه من المجال المقابل يسمى (تطبيق متباين)

إذاً في تدريب (1): ت: تطبيق متباين 

التطبيق الشامل والمتباين يسمى تطبيق تقابل

إذاً في تدريب (1): ت: تطبيق متباين

مثال (1):

إذا كانت س = [ -1 ،0 ، 3 ] ، ص = [ -3 ، -1 ، 5 ] ،

التطبيق ت : س ص ، حيث (س) = 2س -1

أ- أوجد مدى التطبيق ت

ب- اكتب التطبيق ت كمجموعة من الأزواج المرتبة

ج- بين نوع التطبيق ت من حيث كونه شاملاً، متبايناً تقابلاً مع ذكر السبب

د- مثل التطبيق ت بمخطط سهمي وآخر بياني

الحل:

أ- ت (س) = 2 س -1

ت (-1) = 2* (-1) -1 = -3

ت (0) = 2 * (0) -1 = -1

ت (3) = 2 *(3) -1 = 5

المدى - [ -3، -1 = 5

ب- ت = [ ( -1 ، - 3) ، ( 0، -1 ) ، (3 ، 5) ]

ج- ت تطبيق متباين لأن ت (-1) # ت ( 0 ) # ت ( 3 )

ت- تطبيق تقابل لأنه شامل ومتباين.

د- 

• تدريب (1)

إذا كانت س= [ -3 ، 0 ، 3 ] ، ص = [ -9 ، 0 ، 9 ] ،

التطبيق نَ : س ص ، حيث نَ ( س) = 3 س

أ- أوجد مدى التطبيق نَ

ب- اكتب التطبيق نَ كمجموعة من الأزواج المرتبة.

ج- مثل التطبيق نَ بمخطط سهمي.

د- بين نوع التطبيق نَ من حيث كونه شاملا، متبايناً تقابلاً مع ذكر السبب

نَ تطبيق شامل     لأن المدى = المجال المقابل

نَ تطبيق متباين    لأن تَ (-3) # تَ (-) # تَ (3)

نَ تطبيق تقابل     لأن شامل ومتباين

• تدريب (3)

ليكن التطبيق ت: [ -2، -1 ، 3 ] [ 0، 3 ، 8 ] ، حيث ت ( س) = س2 -1

1- أوجد مدى التطبيق ت:

ب- مثل التطبيق ت بمخطط بياني.

ج- بين نوع التطبيق ت من حيث كونه شاملاً متبايناً تقابلاً مع ذكر السبب.

التطبيق شامل لأن المدى يساوي المجال المقابل

التطبيق ليس مقابل متباين لان ت (-2) = تَ( 2)

• تدريب (4)

إذا كانت س = [ 1، 2 ، 3 ، 4 ] ، التطبيق د : س = س،

حيث د = [ (1 ، 2 ) ، ( 2، 3 ) ، ( 3 ، 1 ) ، 4 ، 1 ) ]

أ- مثل التطبيق د بمخطط بياني:

ب- اكتب مدى التطبيق.

المدى = [ 2 ، 3 ، 1 ]

ج- هل التطبيق د تطبيق تقابل؟ لماذا؟

التطبيق ليس شامل لان المدى # المجال المقابل

التطبيق ليس متباين لان تَ (3 ) = تَ (4 )

التطبيق ليس مقابل لانه ليس شامل ولا متباين

• مثال:

ليكن نَ : ص — = ص ( ص هي مجموعة الأعداد الصحيحة ) ، حيث نً ( س) = س+ 1 ، مثل ن بمخطط بياني.

الحل:

(المجال ص مجموعة غير منتهية فتوجد صور بعض العناصر) .

• تدريب (5)

ليكن التطبيق ت : ص+ — ص ( ص هي مجموعة الاعداد الصحيحة ) حيث ت (س) 2س ، مثل ت بمخطط بياني

ت ( 1 ) = 2 × 1 = 2

ت ( 2 ) = 2 × 2 = 4

ت ( 3 ) = 2 × 3 = 6

• تمرن:

إذا كانت س = [ -2 ، 0 ، 2 ] ، ص = [ -4 ، 2 ، 8 ] ،

التطبيق نَ : س -----< ص، حيث نً ( س) = 3س + 2

أ- أوجد مدى التطبيق نَ.

ب- اكتب التطبيق ن كمجموعة من الأزواج المرتبة.

ج- مثل التطبيق ن بمخطط سهمي.

د- بين نوع التطبيق ن من حيث كونه شاملاً متبايناً مع ذكر السبب.

التطبيق شامل لان المدى = المجال المقابل

التطبيق متباين لان ن _ -2) # ن ( - ) # ن (2)

التطبيق تقابل لانه شامل ومتباين

2- إذا كانت ل = [ 1 ، -1 ، 3 ] ، م = [ 2 ، 5 ، 10 ] ،

التطبيق هو : ل -----< م ، حيث هـ ( س ) = س2 + 1

أ- أوجد مدى التطبيق هـ

ب- اكتب التطبيق هـ كمجموعة من الأزواج المرتبة.

ج- مثل التطبيق هـ بمخطط بياني

د- بين نوع التطبيق هـ حيث كونه شاملاً متبايناً مع ذكر السبب.

التطبيق ليس شامل لان المدى = المجال المقابل

التطبيق ليس متباين لان هـ ( 1 ) = هـ ( -1 )

التطبيق ليس تقابل لانه ليس شامل ولا متباين

3- إذا كانت س = [ 0 ، -1 ، 2 ] ، ص = [ 0 ، 1 ، 8 ] ،

التطبيق د : س -----< ص ، حيث دـ ( س ) = س2 

أ- أوجد مدى التطبيق د

ب- اكتب التطبيق د كمجموعة من الأزواج المرتبة.

ج- مثل التطبيق دـ بمخطط بياني

د- بين نوع التطبيق هـ حيث كونه شاملاً متبايناً مع ذكر السبب.

التطبيق شامل لان المدى = المجال المقابل

التطبيق متباين لان دـ ( 0 ) # د (1) # د ( 2 )

التطبيق ليس تقابل لانه ليس شامل ولا متباين

4- إذا كانت س = [ 1 ، -4 ، 9 ] ، ص = [ 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ] ،

التطبيق ت : س -----< ص ، حيث تـ ( س ) = س

أ- أوجد مدى التطبيق ت

ب- مثل التطبيق ت بمخطط بياني

ج- بين نوع التطبيق ت حيث كونه شاملاً متبايناً مع ذكر السبب.

التطبيق ليس شامل لان المدى = المجال المقابل

التطبيق متباين لان تَ ( 1 ) # تً (ع) # تً ( 9 )

التطبيق ليس تقابل لانه ليس شامل

5- إذا كانت س = [ 4 ، -5 ، 6 ] ، التطبيق ك : س -----< س ،

حيث ك = [ ( 4 ، 4) ، (5 ،6 ) ، (6 ، 5 ) ]

التطبيق ت : س -----< ص ، حيث تـ ( س ) = س

أ- أوجد مدى التطبيق ت

المدى = [ ع ، 6 ، 5 ]

ب- مثل التطبيق ك بمخطط بياني

ج- بين أن التطبيق ك تطبيق تقابل

التطبيق شامل لان المدى = المجال المقابل

التطبيق متباين لان ك ( ع ) #ك ( 5 ) # ك (6 )

التطبيق تقابل لأنه ليس شامل ومتباين

(مجموعة الفرق)

مجموعة 6-4:

سوف نتعلم: تمثيل الدوال الخطية بيانياً

• نشاط:

1- ارسم المخطط البياني للتطبيق

2- ارسم المخطط البياني للتطبيق

3 ارسم المخطط البياني للتطبيق

4- ارسم المخطط البياني للتطبيق

قارن بين المخططات البيانية الأربعة السابقة

ماذا نلاحظ:

الدالة (التطبيق) التي مجالها ومجالها المقابل مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد الحقيقية تسمى ( دالة حقيقية )

لأحظ أن

1- نً (س) = أس = ب

تسمى قاعدة الاقتران ويمكن كتابتها على الصورة: ص = أ س = ب

ويكون بيانها خطأ مستقيماً

2- تسمى س المتغير المستقبل وتسمى ص المتغير التابع

3- عندما يكون أ = 0 تكون الدالة ثابتة ويكون بيانها خطأ مستقيماً أفقياً 

(يوازي محور السينات)

• تدريب (1)

أكمل الجدولين للدالتين الخطيتين التاليتين

• مثال:

أرسم بيان الدالة الخطية: ص = 2 س - 3

• تدريب ( 2 )

أرسم بيان الدالة الخطية: ص = 3 س - 1

• تدريب ( 3 )

أرسم بيان الدالة الخطية: ص = 1 س - 2 ص

فكر وناقش:

هل بيان الدالة ص = 5 يوازي محور السينات؟ نعم

أكتب نقطتين تنتميان إلى البيان. ( -1 ، 5 ) ، ( 0 ، 5 )

• تمرن:

1- أكمل الجدولين للدالتين الخطيتين التاليتين:

2- أرسم بياناً كلا الدول الخطية التالية :

(الدالة التربيعية)

مجموعة 6-5:

سوف نتعلم الدوال التربيعية وتمثيلها بيانياً.

• نشاط

لتكن الدالة ن : ح----< ح ، ن ( س ) = س2

1- أكمل الجدول:

2- عين النقاط السابق في المستوى الإحداثي المقابل

3- دون استخدام المسطرة صل بين النقاط السابقة

الدالة الحقيقية فيها القوة الأعلى للمتغير المستقبل تساوي 2 تسمى تربيعية

ويكون الرسم البياني للدالة التربيعية منحنى 

سنعتبر كل المجال والمجال المقابل للدالة التربيعية هو مجموعة الأعداد الحقيقية